Để chứng minh a) và b), ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác nhọn ABC và các tỉ lệ trong tam giác.

a) Ta có:
- Trong tam giác ABC, ta có định lý hình chiếu: AH = AC * cos(A) và AI = AB * cos(C).
- Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên ta có: cos(A) = sin(C) và cos(C) = sin(A).
- Từ đó, ta có: AH = AC * sin(C) và AI = AB * sin(A).
- Ta có: tan(C) = AH / AC và tan(A) = AI / AB.
- Từ đó, ta có: tan(C) / tan(A) = (AH / AC) / (AI / AB) = (AH * AB) / (AI * AC).
- Vì BK là đường cao, nên ta có: AH * AB = AI * AC.
- Từ đó, ta có: tan(C) / tan(A) = 1.
- Đặt x = tan(C), ta có: tan(A) = 1 / x.
- Từ đó, ta có: tan^2(C) = tan^2(A) = 1 / x^2.
- Vì BI = AB * tan(A) và CI = AC * tan(C), nên ta có: BI = AB / x và CI = AC * x.
- Từ đó, ta có: BI = CI * tan^2(C).

b) Ta có:
- Diện tích tam giác ABC là: S_ABC = (1/2) * AB * AC * sin(A).
- Từ định lý hình chiếu, ta có: AH = AC * cos(A) và AI = AB * cos(C).
- Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên ta có: cos(A) = sin(C) và cos(C) = sin(A).
- Từ đó, ta có: AH = AC * sin(C) và AI = AB * sin(A).
- Ta có: cot(A) = AH / AB và cot(C) = AI / AC.
- Từ đó, ta có: cot(A) + cot(C) = (AH / AB) + (AI / AC) = (AH * AC + AI * AB) / (AB * AC).
- Vì BK là đường cao, nên ta có: AH * AB = AI * AC.
- Từ đó, ta có: cot(A) + cot(C) = (AH * AC + AI * AB) / (AB * AC) = 2 * (AH * AB) / (AB * AC) = 2 * (AI * AC) / (AB * AC) = 2 * AI / AB.
- Từ đó, ta có: cot(A) + cot(C) = 2 * AI / AB = 2 * (AC * sin(A)) / AB = 2 * AC * sin(A) / AB.
- Từ đó, ta có: S_ABC = (1/2) * AB * AC * sin(A) = (1/2) * AB * AC * (cot(A) + cot(C)).
- Từ đó, ta có: S_ABC = AC^2 / 2 * (cot(A) + cot(C)).

Vậy, ta đã chứng minh được a) và b).