Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc AC sao cho CD = 2AD

Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các định lí về đối xứng và tỷ lệ đồng dạng.

a) Ta có F là điểm đối xứng của C qua A, nên ta có \(AF \parallel BC\) (định lí về đối xứng). Mà CK là đường chéo của tứ giác AFC, nên theo định lí Thales, ta có \(AM \parallel BC\).

b) Ta có \(AF \parallel BC\) và \(AK \parallel BC\) (định lí về đối xứng), nên ta có tứ giác AFKC là hình bình hành. Mà \(CK \parallel AF\), nên ta có \(CK \parallel AF \parallel BC\). Từ đó suy ra tứ giác AFKC là hình thang cân.

Do đó, ta có \(\frac{AM}{MB} = \frac{AF}{FC} = \frac{AK}{KC}\) (định lí tỷ lệ đồng dạng).

Vì \(CED = ABC\), nên ta có \(\frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA} = \frac{2AD}{CA} = \frac{2MB}{MA}\) (định lí tỷ lệ đồng dạng).

Từ hai tỷ lệ trên, ta có \(\frac{CE}{CB} = \frac{2MB}{MA}\), suy ra tam giác AMB đồng dạng tam giác EBC.

c) Ta có \(EF \parallel BC\) (định lí về đối xứng), nên ta có \(\frac{EF}{CB} = \frac{CE}{CB}\) (định lí tỷ lệ đồng dạng).

Từ b), ta có tam giác AMB đồng dạng tam giác EBC, nên ta có \(\frac{MB}{MA} = \frac{CB}{CE}\) (định lí tỷ lệ đồng dạng).

Từ hai tỷ lệ trên, ta có \(\frac{EF}{CB} = \frac{CE}{CB} = \frac{MB}{MA}\), suy ra \(EF.MC = CB.BE\).

d) Ta có \(CED = ABC\) (định lí về đối xứng), nên ta có \(\angle CED = \angle ABC\).

Vì tam giác AMB đồng dạng tam giác EBC (theo b), nên ta có \(\angle AMB = \angle EBC\).

Do đó, \(\angle DEF = \angle AMB + \angle CED = \angle EBC + \angle ABC = 2\angle ABC\).