Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 - 20x + 11, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:
Biểu thức x^2 - 20x + 11 có thể được viết lại thành (x - 10)^2 - 100 + 11 = (x - 10)^2 - 89.
Vì (x - 10)^2 không thể nhỏ hơn 0, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là -89 khi x = 10.

2. Sử dụng đạo hàm:
Đạo hàm của biểu thức x^2 - 20x + 11 là 2x - 20.
Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta giải phương trình 2x - 20 = 0.
Kết quả là x = 10, và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là -89.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức x^2 - 20x + 11 là -89.