Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc AB, ME vuông góc AC. Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Để chứng minh AK vuông góc IC, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có:

AH ⊥ BC

Vì MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, nên ta có:

MD || AC và ME || AB

Do đó, tứ giác ADME là tứ giác điều hòa.

Theo tính chất của tứ giác điều hòa, ta có:

(AH, AD) ≡ (AH, AM) (mod π)

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có:

(AH, AM) ≡ (AC, AB) (mod π)

Vậy, ta có:

(AH, AD) ≡ (AC, AB) (mod π)

Từ đó, ta suy ra:

(AH, AD) ≡ (AC, AB) ≡ (AC, AI) + (AI, AB) (mod π)

Vì HI = HA và HK = HB, nên ta có:

(AI, AB) ≡ (HI, HB) ≡ (KI, KB) (mod π)

Do đó, ta có:

(AH, AD) ≡ (AC, AI) + (AI, AB) ≡ (AC, AI) + (KI, KB) (mod π)

Vì (AC, AI) + (KI, KB) = (AC, KB), nên ta có:

(AH, AD) ≡ (AC, KB) (mod π)

Từ đó, ta suy ra:

AH ⊥ KD

Vậy, ta đã chứng minh được AK vuông góc IC.