Cho tam giác ABC nhọn biết AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MH lấy K sao cho MH = MK. Cm tứ giác BHCK là HBH

a) Ta có:
- BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC.
- CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK vuông góc với AB.
- H là giao điểm của hai đường cao BE và CF, nên H thuộc cả hai đường cao BH và CK.
Vậy tứ giác BHCK là tứ giác hbh.

b) Ta có:
- BK là đường cao của tam giác ABC, nên BK vuông góc với AB.
- CK là đường cao của tam giác ABC, nên CK vuông góc với AC.
Vậy BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC.

c) Ta có:
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- H là trung điểm của EF, nên EH = HF.
Vậy tam giác MEF là tam giác cân.

d) Ta cần chứng minh EF vuông góc với EQ.
Gọi I là giao điểm của EF và EQ.
Ta có:
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- K là trung điểm của MH, nên MK = MH.
- Vì MH = MK, nên tam giác MHK là tam giác cân, nên BM vuông góc với HK.
- CQ vuông góc với BK tại Q, nên QK vuông góc với BC.
- Vì BM vuông góc với HK và QK vuông góc với BC, nên BM vuông góc với QK.
- Vậy tam giác BMQ vuông góc với tam giác HKQ.
- Do đó, tam giác BMQ đồng dạng với tam giác HKQ (theo góc vuông chung).
- Từ đó, ta có: BM/BQ = HK/KQ.
- Vì BM = MC và HK = KH, nên BM/BQ = MC/KQ.
- Vì BM = MC, nên BM/BQ = 1/KQ.
- Từ đó, ta có: BM/BQ = 1/KQ = MC/KQ.
- Vậy tam giác BQC đồng dạng với tam giác CQK (theo tỉ lệ).
- Do đó, góc BQC = góc CQK.
- Vì EF là đường chéo của tứ giác BQKC, nên góc EFQ = góc BQC.
- Vì EF là đường chéo của tứ giác BQKC, nên góc EQF = góc CQK.
- Vậy góc EFQ = góc EQF.
- Từ đó, ta có: EF vuông góc với EQ.
Vậy EF vuông góc với EQ.