a. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của BC.

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại F, ta có MF là đường cao của tam giác AMC. Vì M là trung điểm của BC, nên MF cũng là đường cao của tam giác ABC.

Vậy, ta có hai đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại M, do đó tam giác ABC là tam giác vuông cân. Khi đó, ta có AM = MC và AM vuông góc với MC.

Từ đó, ta có AE = MC và AF = MF (do đường cao chia tam giác thành hai phần bằng nhau). Vì AM = MC, nên ta có AE = AM và AF = AM.

Do đó, tứ giác AEMF có hai cạnh đối xứng qua đường chéo AM và hai cạnh đối xứng qua đường chéo EF. Vì vậy, tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b. Lấy điểm N sao cho F là trung điểm của MN.

Vì F là trung điểm của MN, nên MF = FN. Từ câu a, ta đã biết rằng tứ giác AEMF là hình chữ nhật, nên AE = MF.

Vậy, ta có AE = MF = FN. Do đó, tứ giác AMBN có hai cạnh đối xứng qua đường chéo AB và hai cạnh đối xứng qua đường chéo MN. Vì vậy, tứ giác AMBN là hình thoi.