Cho ∆MQP vuông tại Q. Kẻ đường cao QH. Gọi E là trung điểm của QM. Kẻ QF⊥PE tại F. Biết HM = 4cm; HP = 8cm. Tính QM ; QP ;QH

a) Ta có:
- Vì ∆MQP vuông tại Q nên theo định lí Pythagoras, ta có: QM² + QP² = MP²
- Vì QH là đường cao của ∆MQP nên theo định lí Pythagoras, ta có: QH² = QM² + MH²
- Vì E là trung điểm của QM nên theo định lí trung điểm, ta có: EM = MQ/2
- Vì QF ⊥ PE nên theo định lí đường cao, ta có: QF² + FP² = QP² + PE²

Giải bài toán:
- Từ HM = 4cm và HP = 8cm, ta có: MH = 4cm và PH = 8cm
- Áp dụng định lí Pythagoras vào ∆MQP, ta có: QM² + QP² = MP²
=> QM² + QP² = (MH + HP)²
=> QM² + QP² = (4 + 8)²
=> QM² + QP² = 12²
=> QM² + QP² = 144

- Áp dụng định lí Pythagoras vào ∆MQP, ta có: QH² = QM² + MH²
=> QH² = QM² + 4²
=> QH² = QM² + 16

- Áp dụng định lí trung điểm vào ∆MQP, ta có: EM = MQ/2
=> EM = QM/2

- Áp dụng định lí đường cao vào ∆QFP, ta có: QF² + FP² = QP² + PE²
=> QF² + FP² = QP² + (PE + PH)²
=> QF² + FP² = QP² + (EM + MH + HP)²
=> QF² + FP² = QP² + (QM/2 + 4 + 8)²
=> QF² + FP² = QP² + (QM/2 + 12)²

b) Ta cần chứng minh ^EQF = ^FPQ
- Ta có: QF ⊥ PE (điều kiện cho đường cao)
- Ta cần chứng minh ^EQF = ^FPQ (cùng có 1 góc vuông và 1 góc bằng nhau)
- Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh QF = FP và EQ = PQ

c) Ta cần chứng minh EM² = EF.FP
- Ta có: EM = MQ/2 (điều kiện cho trung điểm)
- Ta cần chứng minh EM² = EF.FP (điều kiện cho đường cao)