Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học tam giác.
1. Tính độ dài các đoạn AH, AB, AC:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AH là cạnh huyền của tam giác vuông ABC.
- Ta có: BH = 4cm, CH = 9cm. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có: AH² = BH² + CH².
- Thay giá trị vào, ta có: AH² = 4² + 9² = 16 + 81 = 97. - Vậy, AH = √97 cm. - Vì M là trung điểm của AC, nên AM = MC = AC/2.
- Ta có: AC = AH + HC = √97 + 9 = √97 + 3√3 cm. - Vậy, AB = AC = √97 + 3√3 cm.

2. Tính số đo góc AMB: - Vì M là trung điểm của AC, nên AM = MC. - Ta có: BM là đường trung bình của tam giác ABC.
- Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác ABC, ta có: BM = √(AB² + AC²)/2.
- Thay giá trị vào, ta có: BM = √((√97 + 3√3)² + (√97 + 3√3)²)/2.
- Tính toán giá trị, ta có: BM ≈ 10.34 cm. - Vì AM = MC, nên tam giác AMB là tam giác cân tại M.
- Do đó, góc AMB = góc AMC = 90°/2 = 45°. 3. Chứng minh ΔBKC ~ ΔBHM:
- Ta có: ΔBKC và ΔBHM có cạnh chung BM. - Vì góc AMB = góc BHM (cùng bằng 45°), và góc BKC = góc BMC (cùng bằng 90°), nên theo góc đồng dạng, ta có: ΔBKC ~ ΔBHM.

4. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC:
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC sẽ đi qua các đỉnh A, H, C của tam giác.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC sẽ có đường kính AH.
- Vậy, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC là trung điểm của đoạn thẳng AH.
- Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC: bán kính = AH/2 = √97/2 cm.
Vậy, ta đã tính được độ dài các đoạn AH, AB, AC, số đo góc AMB, chứng minh ΔBKC ~ ΔBHM và xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.
...