Tìm GTNN của biểu thức P = 5x^2 + y^2 - 4xy - 8x + 2y + 8

Để tìm GTNN của biểu thức p=5x^2+y^2-4xy-8x+2y+8, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số hai biến này.

Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông hoặc sử dụng đạo hàm riêng.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông:
- Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức p có dạng của một đa thức bậc hai hai biến.
- Để hoàn thành khối vuông, ta cần tìm các hệ số của các thành phần bậc nhất và hệ số của thành phần tự do.
- Ta có thể viết lại biểu thức p thành: p = (5x^2 - 4xy - 8x) + (y^2 + 2y + 8).
- Tiếp theo, ta cần tìm hệ số của thành phần bậc nhất của biểu thức p.
- Để làm điều này, ta có thể nhân đôi các hệ số của thành phần bậc nhất của biểu thức p và cộng vào biểu thức p.
- Ta được: p = (5x^2 - 4xy - 8x + 4xy + 8x) + (y^2 + 2y + 8) = 5x^2 + y^2 + 8.
- Biểu thức p đã được viết lại dưới dạng hoàn thành khối vuông.
- Để tìm GTNN của biểu thức p, ta chỉ cần tìm GTNN của biểu thức 5x^2 + y^2 + 8.
- Vì 5x^2 và y^2 không âm, nên GTNN của biểu thức p là 8.

2. Sử dụng đạo hàm riêng:
- Đầu tiên, ta tính đạo hàm riêng của biểu thức p theo x và y.
- Đạo hàm riêng theo x: p'x = 10x - 4y - 8.
- Đạo hàm riêng theo y: p'y = 2y - 4x + 2.
- Tiếp theo, ta giải hệ phương trình p'x = 0 và p'y = 0 để tìm điểm cực tiểu của hàm số.
- Từ p'x = 0, ta có: 10x - 4y - 8 = 0.
- Từ p'y = 0, ta có: 2y - 4x + 2 = 0.
- Giải hệ phương trình này, ta tìm được x = 1 và y = 1.
- Điểm (1, 1) là điểm cực tiểu của hàm số p.
- Để tìm GTNN của biểu thức p, ta thay x = 1 và y = 1 vào biểu thức p.
- Ta được: p = 5(1)^2 + (1)^2 - 4(1)(1) - 8(1) + 2(1) + 8 = 8.
- GTNN của biểu thức p là 8.

Vậy, GTNN của biểu thức p=5x^2+y^2-4xy-8x+2y+8 là 8.