Tìm x; y biết

1.
a) Để tìm x và y, ta cần giải hệ phương trình:
x^2 - 8x + y^2 - 4y + 20 = 0

Để giải phương trình này, ta có thể hoàn thành hình vuông của biểu thức x^2 - 8x và y^2 - 4y:

(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) + 20 - 16 - 4 = 0

(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 0

Do đó, x = 4 và y = 2.

b) Để tìm x và y, ta cần giải hệ phương trình:
x^2 - 4x + 2xy + 2y^2 - 6y + 5 = 0

Để giải phương trình này, ta có thể hoàn thành hình vuông của biểu thức x^2 - 4x + 4 và 2xy + 2y^2 - 6y + 1:

(x^2 - 4x + 4) + 2xy + 2y^2 - 6y + 1 - 4 - 1 = 0

(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 0

Do đó, x = 2 và y = 1.

2.
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số A(x, y). Để làm điều này, ta cần tính đạo hàm riêng của A theo x và y và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

∂A/∂x = 2x - 6y + 2 = 0
∂A/∂y = -6x + 20y - 20 = 0

Giải hệ phương trình này, ta có x = 2 và y = 1. Để xác định đây là điểm cực tiểu, ta có thể tính đạo hàm riêng cấp 2 của A và kiểm tra dấu của nó.

∂^2A/∂x^2 = 2
∂^2A/∂y^2 = 20

Vì cả hai đạo hàm riêng cấp 2 đều dương, điểm (2, 1) là điểm cực tiểu của hàm số A. Do đó, giá trị nhỏ nhất của A là A(2, 1) = 2^2 - 6(2)(1) + 2(2) + 10(1)^2 - 20(1) + 300 = 274.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số B(x, y). Tương tự như trên, ta tính đạo hàm riêng của B theo x và y và giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

∂B/∂x = 4x + 3y + 4 = 0
∂B/∂y = 3x + 10y - 6 = 0

Giải hệ phương trình này, ta có x = -2 và y = 1. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của B và kiểm tra dấu của nó.

∂^2B/∂x^2 = 4
∂^2B/∂y^2 = 10

Vì cả hai đạo hàm riêng cấp 2 đều dương, điểm (-2, 1) là điểm cực tiểu của hàm số B. Do đó, giá trị nhỏ nhất của B là B(-2, 1) = 2(-2)^2 + 3(-2)(1) + 5(1)^2 + 4(-2) - 6(1) + 3 = 7.