Chứng minh

a, Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật:
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC.
Vì I là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.
Vì I là trung điểm của MK, nên ta có MI = IK.
Từ đó, ta có:
AM = MC
AI = IC
MI = IK
Vậy, ta có AMCK là hình chữ nhật.

b, Tứ giác ABMK là hình vuông:
Vì AMCK là hình chữ nhật, nên ta có AM = CK.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.
Vì I là trung điểm của AC, nên ta có AI = IC.
Vì I là trung điểm của MK, nên ta có MI = IK.
Từ đó, ta có:
AM = CK
AB = AC
MI = IK
Vậy, ta có ABMK là hình vuông.

c, Chứng minh tứ giác ABEC là hình thang:
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có ME = MC.
Vậy, ta có ABEC là hình thang.

d, Tứ giác ABEC là hình vuông khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Nếu tam giác ABC là tam giác đều, thì ta có AB = AC và AB = BC.
Vì ME = MA và ME = MC, nên ta có MA = MC.
Vậy, ta có AB = AC = BC và MA = MC.
Từ đó, ta có ABEC là hình vuông.
Ngược lại, nếu ABEC là hình vuông, thì ta có AB = AC = BC và MA = MC.
Vậy, tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy, ta có tam giác ABC có thêm điều kiện là tam giác đều thì tứ giác ABEC là hình vuông.