Để rút gọn biểu thức trên, ta sử dụng công thức khai triển khác nhau của tổng bình phương và hiệu bình phương:

1. Tổng bình phương: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
2. Hiệu bình phương: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Áp dụng công thức tổng bình phương cho các số \(2^2 + 1, 2^4 + 1, 2^8 + 1, 2^{16} + 1, 2^{32} + 1\), ta có:

\((2^2 + 1)(2^2 - 1) = 2^4 - 1\)
\((2^4 + 1)(2^4 - 1) = 2^8 - 1\)
\((2^8 + 1)(2^8 - 1) = 2^{16} - 1\)
\((2^{16} + 1)(2^{16} - 1) = 2^{32} - 1\)
\((2^{32} + 1)(2^{32} - 1) = 2^{64} - 1\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức ban đầu, ta có:

\((2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) - 2^{64} = (2^4 - 1)(2^8 - 1)(2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64}\)

Tiếp theo, áp dụng công thức hiệu bình phương cho các số \(2^4 - 1, 2^8 - 1, 2^{16} - 1, 2^{32} - 1\), ta có:

\((2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1\)
\((2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1\)
\((2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức trên, ta có:

\((2^4 - 1)(2^8 - 1)(2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64} = (2^8 - 1)(2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64}\)

Tiếp tục áp dụng công thức hiệu bình phương cho các số \(2^8 - 1, 2^{16} - 1\), ta có:

\((2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức trên, ta có:

\((2^8 - 1)(2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64} = (2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64}\)

Cuối cùng, áp dụng công thức hiệu bình phương cho các số \(2^{16} - 1\), ta có:

\((2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1\)

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức trên, ta có:

\((2^{16} - 1)(2^{32} - 1) - 2^{64} = 2^{32} - 1 - 2^{64}\)

Vậy biểu thức đã được rút gọn là \(2^{32} - 1 - 2^{64}\).