Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 18cm và B =60 độ . 1) Hãy giải tam giác vuông ABC. 2) Kẻ đường cao AH. Tính độ dài AH, BH, CH. 3) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: BM.BA + CN.CA + 2BH.HC = BC2

1) Để giải tam giác vuông ABC, ta có:
- BC = 18cm
- Góc B = 60 độ

Áp dụng định lý cô-sin trong tam giác vuông ABC, ta có:
cos(B) = BC/AB
cos(60) = 18/AB
1/2 = 18/AB
AB = 36cm

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB^2 = AC^2 + BC^2
36^2 = AC^2 + 18^2
AC^2 = 1296 - 324
AC^2 = 972
AC = √972 = 18√3 cm

Vậy tam giác ABC có AB = 36cm, AC = 18√3 cm và BC = 18cm.

2) Đường cao AH chia tam giác ABC thành 2 tam giác vuông AHG và AHB.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHG, ta có:
HG^2 = AG^2 - AH^2
HG^2 = AB^2 - AH^2
HG^2 = 36^2 - AH^2
HG^2 = 1296 - AH^2

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB, ta có:
HB^2 = AB^2 - AH^2
HB^2 = 36^2 - AH^2
HB^2 = 1296 - AH^2

Vì HG = HB, nên ta có:
1296 - AH^2 = 1296 - AH^2
0 = 0

Vậy AH = HG = HB.

3) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHM, ta có:
AM^2 = AH^2 + HM^2
AM^2 = AH^2 + BM^2
AM^2 = AH^2 + (AB - AM)^2
AM^2 = AH^2 + (36 - AM)^2
AM^2 = AH^2 + 1296 - 72AM + AM^2
0 = AH^2 + 1296 - 72AM

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHN, ta có:
AN^2 = AH^2 + HN^2
AN^2 = AH^2 + CN^2
AN^2 = AH^2 + (AC - AN)^2
AN^2 = AH^2 + (18√3 - AN)^2
AN^2 = AH^2 + 972 - 36√3AN + AN^2
0 = AH^2 + 972 - 36√3AN

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHC, ta có:
BC^2 = BH^2 + HC^2
BC^2 = AH^2 + HC^2
BC^2 = AH^2 + (AC - AH)^2
BC^2 = AH^2 + (18√3 - AH)^2
BC^2 = AH^2 + 972 - 36√3AH + AH^2
BC^2 = 2AH^2 - 36√3AH + 972

Tổng cộng 2 phương trình trên, ta có:
0 + 0 + 2AH^2 - 36√3AH + 972 = BC^2
2AH^2 - 36√3AH + 972 = 18^2
2AH^2 - 36√3AH + 972 = 324
2AH^2 - 36√3AH + 648 = 0

Giải phương trình trên, ta được:
AH = 9√3 cm

Vậy độ dài AH, BH, CH đều bằng 9√3 cm.