Để chứng minh rằng A chia hết cho 806, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Ta có A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022. Ta muốn chứng minh rằng A chia hết cho 806, tức là A ≡ 0 (mod 806).

Ta thấy rằng 806 = 2 * 13 * 31. Vì vậy, để chứng minh A chia hết cho 806, ta cần chứng minh A ≡ 0 (mod 2), A ≡ 0 (mod 13) và A ≡ 0 (mod 31).

1. Chứng minh A ≡ 0 (mod 2):
Ta thấy rằng mọi số mũ của 5 đều lẻ, nghĩa là 5^k ≡ 1 (mod 2) với mọi số nguyên k. Vì vậy, A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 ≡ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (mod 2). Vì có 2022 số hạng, nên A ≡ 2022 (mod 2). Vì 2022 chia hết cho 2, nên A ≡ 0 (mod 2).

2. Chứng minh A ≡ 0 (mod 13):
Ta sử dụng định lý Fermat nhỏ với p = 13 và a = 5. Ta biết rằng 5^12 ≡ 1 (mod 13). Vì vậy, A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 ≡ 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 (mod 13). Ta có thể nhóm các số hạng thành các nhóm có 12 số hạng, vì 5^12 ≡ 1 (mod 13). Vậy A ≡ (5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^12) + (5^13 + 5^14 + ... + 5^24) + ... + (5^2013 + 5^2014 + ... + 5^2022) (mod 13). Mỗi nhóm có 12 số hạng, nên A ≡ (1 + 1 + 1 + ... + 1) + (1 + 1 + ... + 1) + ... + (1 + 1 + ... + 1) (mod 13). Vì có 168 nhóm, nên A ≡ 168 (mod 13). Vì 168 chia hết cho 13, nên A ≡ 0 (mod 13).

3. Chứng minh A ≡ 0 (mod 31):
Ta sử dụng định lý Fermat nhỏ với p = 31 và a = 5. Ta biết rằng 5^30 ≡ 1 (mod 31). Vì vậy, A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 ≡ 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2022 (mod 31). Ta có thể nhóm các số hạng thành các nhóm có 30 số hạng, vì 5^30 ≡ 1 (mod 31). Vậy A ≡ (5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^30) + (5^31 + 5^32 + ... + 5^60) + ... + (5^1992 + 5^1993 + ... + 5^2022) (mod 31). Mỗi nhóm có 30 số hạng, nên A ≡ (1 + 1 + 1 + ... + 1) + (1 + 1 + ... + 1) + ... + (1 + 1 + ... + 1) (mod 31). Vì có 67 nhóm, nên A ≡ 67 (mod 31). Vì 67 chia hết cho 31, nên A ≡ 0 (mod 31).

Từ các chứng minh trên, ta có A ≡ 0 (mod 2), A ≡ 0 (mod 13) và A ≡ 0 (mod 31). Vì 2, 13 và 31 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên theo định lý đồng dư Trung hòa, ta có A ≡ 0 (mod 2 * 13 * 31 = 806). Vậy A chia hết cho 806.