a) Ta có M là trung điểm của BC, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM vuông góc với BC. Từ đó, ta có MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC.

Khi đó, ta có hai tam giác vuông AME và AMD có cạnh góc vuông chung AM.

Theo định lí cạnh góc vuông, ta có AM = AM (cạnh góc vuông chung), ME = MD (đường cao của tam giác vuông bằng nửa chu vi đáy), và góc AME = góc AMD (góc vuông).

Do đó, hai tam giác AME và AMD đồng dạng (theo góc - cạnh - góc).

Vì vậy, ta có AM/MD = ME/AM.

Từ đó, suy ra AM^2 = MD.ME.

Nhưng MD = ME (vì M là trung điểm của BC), nên AM^2 = MD^2.

Do đó, AM = MD = ME.

b) Ta đã chứng minh được AM = DE.

Vì AM = DE và MD = ME (vì M là trung điểm của BC), nên ta có AM = DE = MD = ME.

Do đó, tứ giác DMCE là hình bình hành (cạnh đối diện bằng nhau và song song).

c) Gọi H' là điểm đối xứng của A qua DE.

Ta cần chứng minh H' trùng với H, tức là A đối xứng với H qua DE.

Vì A là giao điểm của đường cao AH và cạnh BC, nên H' cũng nằm trên đường cao AH và cạnh BC.

Ta cần chứng minh H' nằm trên đường cao AH và cạnh BC.

Vì DMCE là hình bình hành, nên DE song song với MC.

Do đó, góc H'DE = góc H'MC = góc H'AM (do AM song song với MC).

Nhưng góc H'AM = góc HAM (do A đối xứng với H qua DE).

Vậy, ta có góc H'DE = góc HAM.

Từ đó, suy ra H' nằm trên đường cao AH.

Vì vậy, H' trùng với H và A đối xứng với H qua DE.