Để tính diện tích mảnh đất nhà bác An, ta cần tính diện tích của từng phần và sau đó cộng lại.

1. **Diện tích phần thứ nhất (hình vuông):**

Độ dài cạnh của hình vuông là \( 3x + 2y \).

Diện tích hình vuông được tính bằng bình phương độ dài cạnh:
\[
S_1 = (3x + 2y)^2
\]

Áp dụng công thức bình phương của một tổng:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Ta có:
\[
(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2
\]
\[
= 9x^2 + 12xy + 4y^2
\]

Vậy diện tích phần thứ nhất là:
\[
S_1 = 9x^2 + 12xy + 4y^2
\]

2. **Diện tích phần thứ hai (hình chữ nhật):**

Chiều dài của hình chữ nhật là \( 5x + 3y \) và chiều rộng là \( 4x + y \).

Diện tích hình chữ nhật được tính bằng tích của chiều dài và chiều rộng:
\[
S_2 = (5x + 3y)(4x + y)
\]

Áp dụng công thức phân phối:
\[
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
\]

Ta có:
\[
(5x + 3y)(4x + y) = 5x \cdot 4x + 5x \cdot y + 3y \cdot 4x + 3y \cdot y
\]
\[
= 20x^2 + 5xy + 12xy + 3y^2
\]
\[
= 20x^2 + 17xy + 3y^2
\]

Vậy diện tích phần thứ hai là:
\[
S_2 = 20x^2 + 17xy + 3y^2
\]

3. **Tổng diện tích mảnh đất:**

Tổng diện tích mảnh đất là tổng diện tích của hai phần:
\[
S = S_1 + S_2
\]
\[
= (9x^2 + 12xy + 4y^2) + (20x^2 + 17xy + 3y^2)
\]
\[
= 9x^2 + 12xy + 4y^2 + 20x^2 + 17xy + 3y^2
\]
\[
= (9x^2 + 20x^2) + (12xy + 17xy) + (4y^2 + 3y^2)
\]
\[
= 29x^2 + 29xy + 7y^2
\]

Vậy diện tích mảnh đất nhà bác An dưới dạng đa thức là:
\[
29x^2 + 29xy + 7y^2
\]