Cho tam giác ABC vuông tại A(AB

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AI cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MI.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ. Khi đó, góc BAI = góc CAI = 90 - góc BAC/2 = 45 độ.

Vì góc BAI = 45 độ, góc BHI = 90 - góc BAI = 45 độ. Vì góc BHI = góc BAI, nên tam giác BHI cân tại B. Do đó, BH = BI.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Khi đó, góc BCA = 180 - góc BAC - góc ABC = 180 - 90 - 45 = 45 độ.

Vì góc BCA = 45 độ, góc BIK = 90 - góc BCA = 90 - 45 = 45 độ. Vì góc BIK = góc BAI, nên tam giác BIK cân tại B. Do đó, BK = BI.

Từ hai điều trên, ta có BH = BK = BI. Vì tam giác BHI cân tại B, nên ta có góc BHI = góc BIK = 45 độ.

Vì góc BHI = góc BIK = 45 độ, nên tam giác BHI và tam giác BIK đồng dạng. Do đó, ta có:

BH/BI = BI/BK
BH = BI^2/BK
BH = BI^2/BI
BH = BI

Vậy ta có IA = HK.

b) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng IA = HK. Vì IA = HK, nên góc IAH = góc HKM (cùng là góc vuông).

Vì góc IAH = góc HKM = 90 độ, nên ta có HK vuông góc AM.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).