Để chứng minh tứ giác EIFK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh của tứ giác này có cùng độ dài và các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

Ta có:
- Tứ giác AICK là hình bình hành với AI là đường chéo chia AC thành 2 phần bằng nhau. Vì vậy, ta có AI = CK.
- Tứ giác IBKC là hình bình hành với BK là đường chéo chia BC thành 2 phần bằng nhau. Vì vậy, ta có BK = IC.

Vậy, ta có AI = CK = BK = IC.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng các đường chéo của tứ giác EIFK cắt nhau tại trung điểm.

Ta có:
- Đường chéo AK cắt đường chéo DI tại E.
- Đường chéo BK cắt đường chéo CI tại F.

Vì AICK là hình bình hành, nên đường chéo AK cắt đường chéo DI tại E tại trung điểm. Tương tự, vì IBKC là hình bình hành, nên đường chéo BK cắt đường chéo CI tại F tại trung điểm.

Vậy, ta có E là trung điểm của AK và DI, F là trung điểm của BK và CI.

Từ đó, ta có AI = CK = BK = IC và E là trung điểm của AK và DI, F là trung điểm của BK và CI.

Vậy, tứ giác EIFK là hình bình hành.