Giải phương trình

Giải phương trình thứ nhất:
- (2cosx-1) . (sinx+1) = 0
Điều kiện để tích hai số bằng 0 là một trong hai số bằng 0:
2cosx - 1 = 0 hoặc sinx + 1 = 0

Giải phương trình 2cosx - 1 = 0:
2cosx = 1
cosx = 1/2
x = π/3 + 2kπ hoặc x = 5π/3 + 2kπ với k là số nguyên.

Giải phương trình sinx + 1 = 0:
sinx = -1
x = -π/2 + 2kπ với k là số nguyên.

Vậy phương trình thứ nhất có các nghiệm là:
x = π/3 + 2kπ, x = 5π/3 + 2kπ, x = -π/2 + 2kπ với k là số nguyên.

Giải phương trình thứ hai:
sin2x - 2sin^2x = 2cos (x+π/4)

Chúng ta biết rằng: sin2x = 2sinxcosx
Thay thế vào phương trình ta có:
2sinxcosx - 2sin^2x = 2cos (x+π/4)

Chúng ta biết rằng: cos (a+b) = cosacosb - sinasinb
Thay thế vào phương trình ta có:
2sinxcosx - 2sin^2x = 2cosxcos(π/4) - 2sinxsin(π/4)

2sinxcosx - 2sin^2x = √2cosx - √2sinx

2sinxcosx + √2sinx - √2cosx - 2sin^2x = 0

Chuyển về dạng tổng:
√2sinx(1 - cosx) - √2cosx(1 + sinx) - 2sin^2x = 0

Chia cả hai vế cho -√2:
sinx(1 - cosx) + cosx(1 + sinx) + 2sin^2x = 0

sinx - sinxcosx + cosx + sinxcosx + 2sin^2x = 0

sinx + cosx + 2sin^2x = 0

Chúng ta biết rằng: sin^2x + cos^2x = 1
Thay thế vào phương trình ta có:
sinx + cosx + 2(1 - cos^2x) = 0

sinx + cosx + 2 - 2cos^2x = 0

-2cos^2x + sinx + cosx + 2 = 0

Chuyển vế:
2cos^2x - sinx - cosx - 2 = 0

Đặt t = cosx:
2t^2 - sinx - t - 2 = 0

Phương trình này khó giải trực tiếp, ta sẽ giải bằng cách đồ thị hóa.

Vẽ đồ thị hàm số y = 2t^2 - sinx - t - 2:

Đồ thị hàm số này có dạng parabol, ta cần tìm các điểm cắt của đồ thị với trục hoành (y = 0).

Dựa vào đồ thị, ta thấy có hai điểm cắt với trục hoành, do đó phương trình có hai nghiệm.

Vậy phương trình thứ hai có hai nghiệm.