a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Vì ∆ABC là tam giác vuông tại A, nên AM là trung tuyến của ∆ABC.
Do đó, M là trung điểm của BC.
Khi kẻ MD vuông góc AB và ME vuông góc AC, ta có:
- MD là đường cao của ∆ABM, nên MD cắt AB tại trung điểm D của AB.
- ME là đường cao của ∆ACM, nên ME cắt AC tại trung điểm E của AC.
Vậy, ta có tứ giác ADME có hai cạnh đối là AD và ME có độ dài bằng nhau (vì D và E là trung điểm của AB và AC).
Đồng thời, tứ giác ADME có hai góc vuông tại D và E.
Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Ta cần chứng minh AK vuông góc IC.
Gọi H là giao điểm của đường cao AH và đường thẳng IC.
Theo định nghĩa, đường cao AH của ∆ABC là đường thẳng đi qua đỉnh A và vuông góc với cạnh BC.
Vì HI = HA và HK = HB,
ta có thể xem I và K là các điểm trên đường thẳng AH.
Khi đó, ta có:
∠AIH = ∠AHI (cùng là góc vuông)
∠AKH = ∠AHK (cùng là góc vuông)
Vậy, ta có hai góc bằng nhau ∠AIH và ∠AKH.
Do đó, theo tính chất góc đồng quy, ta có AK // IH.
Tuy nhiên, AH là đường cao của ∆ABC, nên AH vuông góc với cạnh BC.
Vậy, ta có AK vuông góc IC.