Để tính diện tích Sbmc, ta cần tìm độ dài cạnh bm.

Gọi S là diện tích tam giác ABC, ta có:
S = 1/2 * AH * BC
45 = 1/2 * AH * BC
AH * BC = 90

Gọi x là độ dài cạnh BM, ta có:
AM = 1/3 * AH
BM = BC - CM

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AMH, ta có:
AH^2 = AM^2 + MH^2
AH^2 = (1/3 * AH)^2 + MH^2
AH^2 = 1/9 * AH^2 + MH^2
8/9 * AH^2 = MH^2
MH = AH * sqrt(8/9)
MH = AH * 2sqrt(2)/3

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác BMH, ta có:
BM^2 = BH^2 + MH^2
BM^2 = (BC - CH)^2 + (AH * 2sqrt(2)/3)^2
BM^2 = (BC - CH)^2 + 8/9 * AH^2
BM^2 = (BC - CH)^2 + 8/9 * 90
BM^2 = (BC - CH)^2 + 80

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
AH * BC = 90
BM^2 = (BC - CH)^2 + 80

Giải hệ phương trình này, ta có:
BC = 90/AH
BM^2 = (90/AH - CH)^2 + 80

Vì AH và CH là độ dài cố định, nên BM^2 sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi BC đạt giá trị lớn nhất, tức là BC = 90/AH.
Vậy, ta có:
BM^2 = (90/AH - CH)^2 + 80

Để tìm diện tích Sbmc, ta cần tìm BM. Ta có:
Sbmc = 1/2 * BM * CM
Sbmc = 1/2 * sqrt(BM^2) * CM
Sbmc = 1/2 * sqrt((90/AH - CH)^2 + 80) * CH

Vậy, diện tích Sbmc là 1/2 * sqrt((90/AH - CH)^2 + 80) * CH.