Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + 2024, ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x và y.

Đặt A = x^2 + 2xy + 6x + 6y + 2y^2 + 8 = 0.

Ta có thể viết lại A dưới dạng tổ hợp bình phương hoàn chỉnh:

A = (x^2 + 2xy + y^2) + (4x + 4y) + 8 = (x + y)^2 + 4(x + y) + 8.

Đặt t = x + y, ta có A = t^2 + 4t + 8.

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A, ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của t.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

t^2 + 4t + 8 = (t^2 + 4t + 4) + 4 = (t + 2)^2 + 4 ≥ 4.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 4.

Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần tìm giá trị lớn nhất của t^2 + 4t + 8.

Đạo hàm của hàm số f(t) = t^2 + 4t + 8 là f'(t) = 2t + 4.

Để tìm điểm cực trị của f(t), ta giải phương trình f'(t) = 0:

2t + 4 = 0
⇒ t = -2.

Đạo hàm hai lần của f(t) là f''(t) = 2 > 0.

Vậy, tại t = -2, f(t) đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó, A đạt giá trị lớn nhất khi t = -2, tức là A = (-2)^2 + 4(-2) + 8 = 4.

Vậy, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + 2024 là 4 + 2024 = 2028 và 4 + 2024 = 2028, tương ứng.