Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x^2 - 4x + 18 + √2.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông:
f(x) = 2x^2 - 4x + 18 + √2
= 2(x^2 - 2x + 1) + 16 + √2
= 2(x - 1)^2 + 16 + √2.

Ta thấy (x - 1)^2 luôn không âm, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) là khi (x - 1)^2 = 0, tức là x = 1.

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là:
A = f(1) = 2(1 - 1)^2 + 16 + √2 = 16 + √2.

2. Sử dụng đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số f(x) là:
f'(x) = 4x - 4.

Để tìm điểm cực tiểu của hàm số, ta giải phương trình f'(x) = 0:
4x - 4 = 0
=> x = 1.

Khi x = 1, ta có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A:
A = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 18 + √2 = 16 + √2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 16 + √2.