a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung bình của tam giác ABC.
vậy, ta có AM = MC.
Tam giác AMC là tam giác cân.
b) Vì OM = ON, ta có tam giác OMC là tam giác cân.
 ta có MC = OC.
ta có tam giác AMC là tam giác cân.
 AM = MC, ta có AM = AC/2. 
 OM = ON, ta có tam giác MON là tam giác đều. 
ta có MO = /> AM = AC/2, ta có AN = AC/2.
ta có tam giác AMN là tam giác đều. 
có MON,AMN đều có cạnh bằng nhau.
Suy ra tam giác AMCN là hình thoi.
c) Gọi I là trung điểm của MC và D là điểm A,M,D thẳng hàng.
có MD song song với AC.
 có tam giác AMD đồng dạng với tam giác ABC. 
có AD/AB = AM/AC.
 AM = MC, ta có AD/AB = MC/AC. 
 có AD/AB = 1/2. 
 I là trung điểm của MC, ta có ID = IC. 
ta có tam giác AID đồng dạng với tam giác ABC.
có AI/AB = ID/BC.
 có AI/AB = 1/2.
AD/AB = 1/2, ta có AI = ID.
 có tam giác AID là tam giác đều. 
có MD vuông góc với AI.
có MD vuông góc với AD.
có tứ giác AMCD là tứ giác điều hòa.