Rút gọn các biểu thức

Bài 1:
a) (x + 2)2 - (x + 3)(x - 3) + 10
= x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 9) + 10
= x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 + 10
= 4x + 23

b) (x + 5)(x^2 - 5x + 25) - x(x - 4)^2 + 16x
= x^3 - 5x^2 + 25x + 5x^2 - 25x + 125 - x^3 + 8x^2 - 32x + 16x
= 8x^2 + 16x + 125

c) (x-2y)^3 - (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + 6x^2y
= x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 - (x^3 - 2xy^2 + 4y^3) + 6x^2y
= -2y^3 + 4xy^2 + 6x^2y

Bài 2:
a) 8x^2y - 8xy + 2x
= 2x(4xy - 4y + 1)

b) x^2 - 6x - y^2 + 9
= (x - 3)^2 - y^2

c) (x^2 + 2x)(x^2 + 4x + 3) - 24
= (x^2 + 2x)(x + 3)(x + 1) - 24

Bài 3:
a) (x + 3)^2 - (x + 2)(x - 2) = 4x + 17
= x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 4) = 4x + 17
= 6x + 13 = 4x + 17
= 2x = 4
= x = 2

b) (x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 4) = 1
= x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x - 27 - x^3 + 4x = 1
= -2x + 27 = 1
= -2x = -26
= x = 13

c) 3x^2 + 7x = 10
= 3x^2 + 7x - 10 = 0
= (3x - 2)(x + 5) = 0
= 3x - 2 = 0 or x + 5 = 0
= x = 2/3 or x = -5

Bài 4:
a) Ta có BM = DN = BD (đường chéo chia hình bình hành thành 2 tam giác cân)
AM = CN (đường chéo chia hình bình hành thành 2 tam giác đồng dạng)
Vậy ΔAMB = ΔCND (cùng có 2 cạnh bằng nhau và góc giữa 2 cạnh bằng nhau)

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành vì AM = CN (đường chéo chia hình bình hành thành 2 tam giác đồng dạng) và AC là đường chéo của hình bình hành.

c) Ta có AM cắt BC tại I.
Áp dụng định lí Thales, ta có:
AM/MI = AB/BC
AM/MI = 1/2 (vì AB = BC)
Vậy AM = 2MI

d) CN cắt AD tại K.
Áp dụng định lí Thales, ta có:
CN/NK = CD/DA
CN/NK = 1/2 (vì CD = DA)
Vậy CN = 2NK
Vì AM = CN và AM = 2MI, nên CN = 2MI
Vậy I và K đối xứng với nhau qua O.

Bài 5:
a) A = 5 + 2xy + 14y - x^2 - 5y^2 - 2x
Để tìm GTLN của biểu thức, ta tìm đạo hàm của biểu thức theo x và y, sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.
Đạo hàm theo x: dA/dx = 2y - 2x - 2 = 0
Đạo hàm theo y: dA/dy = 14 - 10y = 0
Giải hệ phương trình trên ta có y = 1 và x = 1
Thay x = 1 và y = 1 vào biểu thức ban đầu ta có A = 5 + 2(1)(1) + 14(1) - (1)^2 - 5(1)^2 - 2(1) = 5 + 2 + 14 - 1 - 5 - 2 = 13

b) B = 2n + 3n + 4n
= 9n
Để B là số chính phương, ta cần tìm các số nguyên dương n sao cho 9n là số chính phương.
Các số nguyên dương n thỏa mãn là n = 1, n = 4.