Để chứng minh MNPQ là hình vuông, ta cần chứng minh các cạnh của nó bằng nhau và các đường chéo của nó cắt nhau vuông góc.

Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên AM = MB.
- N là trung điểm của BC, nên BN = NC.
- P là trung điểm của CD, nên CP = PD.
- Q là trung điểm của DA, nên DQ = QA.

Vậy ta có:
AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

Để chứng minh các đường chéo của MNPQ cắt nhau vuông góc, ta cần chứng minh AM cắt CP vuông góc và BN cắt DQ vuông góc.

Ta có:
- AM là đường chéo của hình vuông ABCD, nên AM cắt CP tại trung điểm của CP.
- BN là đường chéo của hình vuông ABCD, nên BN cắt DQ tại trung điểm của DQ.

Vậy ta có:
AM cắt CP tại trung điểm của CP và BN cắt DQ tại trung điểm của DQ.

Vậy ta kết luận được rằng MNPQ là hình vuông.