Cho hình thang ABCD (AB//CD). O là giao điểm của AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng a // AB và CD, a cắt AD, BC lần lượt tại E và F

Để chứng minh rằng OE = OF, ta sẽ sử dụng định lí Thales.

Vì a // AB và CD, ta có:
∠OAB = ∠OCD (cùng chắn cung OD trên đường tròn (OABCD))
∠OBA = ∠ODC (cùng chắn cung OC trên đường tròn (OABCD))

Do đó, hai tam giác OAB và OCD đồng dạng (có hai góc tương ứng bằng nhau).

Theo định lí Thales, ta có:
OE/OF = OA/OC = OB/OD

Vì OB = OA (hình thang ABCD có hai cạnh song song AB và CD), nên ta có:
OE/OF = OA/OC = 1

Do đó, OE = OF.

Để chứng minh rằng 1 phần AB + 1 phần CD = 2 phần EF, ta sẽ sử dụng định lí Euclid.

Vì a // AB và CD, ta có:
∠OAB = ∠OCD (cùng chắn cung OD trên đường tròn (OABCD))
∠OBA = ∠ODC (cùng chắn cung OC trên đường tròn (OABCD))

Do đó, hai tam giác OAB và OCD đồng dạng (có hai góc tương ứng bằng nhau).

Theo định lí Euclid, ta có:
AB/CD = OA/OC = OB/OD

Vì OB = OA (hình thang ABCD có hai cạnh song song AB và CD), nên ta có:
AB/CD = OA/OC = 1

Do đó, AB = CD.

Gọi M là trung điểm của EF. Ta có:
EM/EF = EA/ED (vì a // AB và CD)
= AB/CD (vì tam giác AED và ABC đồng dạng)
= 1 (vì AB = CD)

Do đó, EM = EF.

Vậy, 1 phần AB + 1 phần CD = 2 phần EF.