Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Gọi P, Q đối xứng M qua AB, AC. Chứng minh PQ đi qua trực tâm ▲ABC

Đặt I là trực tâm của tam giác ABC. Ta sẽ chứng minh I thuộc đường PQ.

Đầu tiên, ta chứng minh I thuộc đường PQ.

Đặt N là trung điểm của cung nhỏ BC không chứa A.

Ta có: $\angle{NAB}=\angle{NAC}$ (do N là trung điểm của cung nhỏ BC không chứa A)

Vậy $\angle{NAP}=\angle{NAQ}$ (do P, Q đối xứng qua AB, AC)

Do đó, tam giác NAP và NAQ đồng dạng.

Từ đó, ta có $\angle{NPA}=\angle{NQA}$ (do P, Q đối xứng qua AB, AC)

Vậy $\angle{NPA}+\angle{NQA}=180^\circ$

Do đó, I thuộc đường PQ.

Để chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC, ta cần chứng minh AI vuông góc với BC.

Đặt H là giao điểm của AI và BC.

Ta có $\angle{HAB}=\angle{HAC}$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)

Vậy $\angle{HAP}=\angle{HAQ}$ (do P, Q đối xứng qua AB, AC)

Do đó, tam giác HAP và HAQ đồng dạng.

Từ đó, ta có $\angle{HPA}=\angle{HQA}$ (do P, Q đối xứng qua AB, AC)

Vậy $\angle{HPA}+\angle{HQA}=180^\circ$

Do đó, H thuộc đường PQ.

Từ đó, ta có AI vuông góc với BC.

Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.