Để chứng minh AHIK là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối nhau của hình chữ nhật này là bằng nhau và các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

Ta có:
- AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC tại H.
- HI là đường cao của tam giác BHC, nên HI vuông góc với BC tại I.
- AK là đường cao của tam giác ABC, nên AK vuông góc với AB tại K.

Vậy ta có:
- AH // IK (do cùng vuông góc với BC)
- HI // AK (do cùng vuông góc với BC)

Do đó, ta có AHIK là hình chữ nhật.

Đồng thời, ta cũng có:
- AH = IK (do cùng vuông góc với BC)
- HI = AK (do cùng vuông góc với BC)

Vậy ta có các cặp cạnh đối nhau của hình chữ nhật AHIK là bằng nhau.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng AHIK là hình chữ nhật.