Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11-6x+2x^2, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Biểu thức 2x^2 - 6x + 11 có dạng ax^2 + bx + c, với a = 2, b = -6 và c = 11.

Để hoàn thành khối vuông, ta cần thêm vào biểu thức một số hạng để biểu thức trở thành một khối vuông hoàn hảo. Số hạng này là (b/2a)^2.

Trong trường hợp này, ta có b = -6 và a = 2, nên số hạng cần thêm vào là (-6/2*2)^2 = (-3/2)^2 = 9/4.

Thêm số hạng 9/4 vào biểu thức ban đầu, ta có: 2x^2 - 6x + 11 + 9/4.

Để đơn giản hóa biểu thức, ta có thể chuyển đổi thành dạng toàn bộ bằng cách nhân cả biểu thức với 4: 8x^2 - 24x + 44 + 9.

Biểu thức mới là 8x^2 - 24x + 53.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta có thể sử dụng định lý về đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số này là một đường parabol mở hướng lên, do đó giá trị nhỏ nhất sẽ nằm ở đỉnh của đường parabol.

Đỉnh của đường parabol có tọa độ (h, k), với h = -b/2a và k = f(h), trong đó f(h) là giá trị của hàm số tại điểm h.

Trong trường hợp này, a = 8 và b = -24, nên h = -(-24)/(2*8) = 3/2.

Để tính giá trị của hàm số tại điểm h, ta thay h vào biểu thức ban đầu: f(h) = 8(3/2)^2 - 24(3/2) + 53 = 18 - 36 + 53 = 35.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11-6x+2x^2 là 35.