Tính chu vi và diện tích ∆ABC

a) Để tính chu vi và diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức sau:
Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))|

Với A(1,-3), B(2,4), C(-1,2), ta có:
AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((2-1)^2 + (4-(-3))^2) = √(1^2 + 7^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2
BC = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((-1-2)^2 + (2-4)^2) = √((-3)^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13
AC = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = √((-1-1)^2 + (2-(-3))^2) = √((-2)^2 + (5)^2) = √(4 + 25) = √29

Chu vi tam giác ABC = AB + BC + AC = 5√2 + √13 + √29
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))| = 1/2 * |(1(4-2) + 2(2-(-3)) + (-1)(-3-4))| = 1/2 * |(2 + 10 + 7)| = 1/2 * |(19)| = 9.5

Vậy chu vi tam giác ABC là 5√2 + √13 + √29 và diện tích tam giác ABC là 9.5.

b) Để viết phương trình đường thẳng AB, ta sử dụng công thức sau:
Phương trình đường thẳng AB: y - y1 = m(x - x1)

Với A(1,-3) và B(2,4), ta tính được độ dốc m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - (-3)) / (2 - 1) = 7/1 = 7

Thay vào phương trình đường thẳng AB với điểm A(1,-3), ta có:
y - (-3) = 7(x - 1)
y + 3 = 7x - 7
y = 7x - 7 - 3
y = 7x - 10

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 7x - 10.

c) Để viết phương trình đường thẳng vuông góc với AB và đi qua C, ta sử dụng công thức sau:
Phương trình đường thẳng vuông góc có độ dốc âm của đường thẳng AB: y - y1 = -1/m(x - x1)

Với A(1,-3), B(2,4) và C(-1,2), ta tính được độ dốc m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - (-3)) / (2 - 1) = 7/1 = 7

Độ dốc của đường thẳng vuông góc là -1/m = -1/7

Thay vào phương trình đường thẳng vuông góc với điểm C(-1,2), ta có:
y - 2 = -1/7(x - (-1))
y - 2 = -1/7(x + 1)
y - 2 = -1/7x - 1/7
y = -1/7x - 1/7 + 2
y = -1/7x + 13/7

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với AB và đi qua C là y = -1/7x + 13/7.