Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Từ điểm A, B kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại E, F. Chứng minh rằng A, E, M, O thuộc một đường tròn

1. Chứng minh: Ta có AEO là tam giác vuông tại E (do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A). Vì vậy, ta có A, E, O thẳng hàng. Tương tự, ta có B, F, O thẳng hàng. Do đó, A, E, M, O thẳng hàng.
2. Chứng minh: Ta có AEO là tam giác vuông tại E và O là trung điểm của AB (đường kính). Vì vậy, ta có OE vuông góc với AF. Tương tự, ta có OF vuông góc với AE. Do đó, OE vuông góc với OF.
3. Chứng minh: Ta có EF là cạnh chung của hai tam giác AEF và BEF. Vì vậy, EF = AE + BF.
Giả sử M di chuyển từ A đến B trên nửa đường tròn (O). Khi đó, góc AEM và góc BFM thay đổi nhưng tổng của chúng không đổi. Vì vậy, AE.BF là không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O).
4. Để chu vi tứ giác AEFB nhỏ nhất, ta cần chọn M sao cho góc AEM và góc BFM bằng nhau. Điều này xảy ra khi M là trung điểm của cung lớn AB (nửa đường tròn (O)).
5. Chứng minh: Ta có OE vuông góc với OF (đã chứng minh ở câu 2). Vì vậy, AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF.
6. Tứ giác MPOQ là hình bình hành. Vì AM cắt AE tại P và BM cắt OF tại Q, nên MP song song với OQ và MQ song song với OP. Do đó, tứ giác MPOQ là hình bình hành.
7. Chứng minh: Ta có MH vuông góc với AB (định nghĩa của H). Khi đó, EB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng MH và AB. Vì vậy, EB đi qua trung điểm K của MH.
8. Chứng minh: Ta có MH vuông góc với AB (đã chứng minh ở câu 7). Vì vậy, K là trung điểm của MH.
Do đó, 3 điểm A, F, K thẳng hàng.
9. Ta có OE = a và O là trung điểm của AB (đường kính). Vì vậy, AM = AE - ME = AE - OE = AE - a.
Do đó, MH = AM - AH = AE - a - R (với R là bán kính đường tròn (O)).