Để chứng minh rằng phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng tử số và mẫu số của phân số này không có ước chung lớn hơn 1.

Giả sử tử số $n+1$ và mẫu số $2n+3$ có ước chung lớn hơn 1, ký hiệu là $d$. Khi đó, tử số và mẫu số có thể được viết dưới dạng:

$n+1 = da$
$2n+3 = db$

Trừ cả hai phương trình này, ta có:

$n+1 - (2n+3) = da - db$

Simplifying the equation, we get:

$-n - 2 = d(a-b)$

Do đó, $d$ phải chia hết cho $-n-2$. Tuy nhiên, $-n-2$ là một số nguyên âm, vì vậy $d$ phải là một số âm. Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì $d$ là ước chung của hai số nguyên dương $n+1$ và $2n+3$. Do đó, giả định ban đầu là sai và phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản.