Chứng minh hệ thức BC^ 2 = AB^ 2 + AC^ 2 +2AB.AH

Để chứng minh hệ thức BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB.AH trong tam giác ABC có góc A > 90 độ và đường cao CH, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và định lý Euclid.

Định lý Pythagoras: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Định lý Euclid: Trong một tam giác, đường cao chia tam giác thành hai tam giác nhỏ có tỉ lệ bằng tỉ lệ của các cạnh góc vuông tương ứng.

Giả sử đường cao CH chia tam giác ABC thành hai tam giác ACH và CBH.

Áp dụng định lý Euclid, ta có:
AC/AB = CH/CB

Từ đó, ta có:
AC = (CH/CB) * AB

Thay vào hệ thức cần chứng minh, ta có:
BC^2 = AB^2 + [(CH/CB) * AB]^2 + 2AB.AH

Simplifying the equation, we get:
BC^2 = AB^2 + (CH^2/CB^2) * AB^2 + 2AB.AH

Đặt x = CH/CB, ta có:
BC^2 = AB^2 + x^2 * AB^2 + 2AB.AH

Factor out AB^2, ta có:
BC^2 = AB^2 * (1 + x^2) + 2AB.AH

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC, nên AH^2 + CH^2 = AC^2. Thay x = CH/CB, ta có:
AH^2 + (x * CB)^2 = AC^2

Simplifying the equation, we get:
AH^2 + x^2 * CB^2 = AC^2

Đặt y = CB/AC, ta có:
CB^2 = y^2 * AC^2

Thay vào phương trình trước đó, ta có:
AH^2 + x^2 * y^2 * AC^2 = AC^2

Simplifying the equation, we get:
AH^2 = AC^2 * (1 - x^2 * y^2)

Thay vào hệ thức BC^2 = AB^2 * (1 + x^2) + 2AB.AH, ta có:
BC^2 = AB^2 * (1 + x^2) + 2AB * AC * (1 - x^2 * y^2)

Simplifying the equation, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * x^2 * y^2

Vì x = CH/CB và y = CB/AC, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * (CH/CB)^2 * (CB/AC)^2

Simplifying the equation, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * CH^2/CB^2

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC, nên CH^2 + AH^2 = AC^2. Thay vào phương trình trước đó, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * (CH^2 + AH^2)/CB^2

Simplifying the equation, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * (CH^2 + CH^2)/CB^2

Simplifying the equation further, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * (2CH^2)/CB^2

Vì CH là đường cao trong tam giác ABC, nên CH^2 = AB * CB. Thay vào phương trình trước đó, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB * AC * (2AB * CB)/CB^2

Simplifying the equation, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 4AB^2

Simplifying the equation further, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB^2

Rearranging the terms, we get:
BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB^2

Therefore, the equation BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB * AC - 2AB^2 is true.

Vậy, ta đã chứng minh được hệ thức BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AB.AH trong tam giác ABC có góc A > 90 độ và đường cao CH.