Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức A theo x:
A' = (d/dx)(6x^2 + 2x + 19)/(3x^2 + x + 7)

Để tính đạo hàm của tử số, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng:
(d/dx)(6x^2 + 2x + 19) = 12x + 2

Để tính đạo hàm của mẫu số, ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng:
(d/dx)(3x^2 + x + 7) = 6x + 1

Sau đó, ta sẽ tìm giá trị x khi A' = 0:
12x + 2 = 0
=> 12x = -2
=> x = -2/12
=> x = -1/6

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra giá trị của A tại x = -1/6 và x = -1/6 + ε (với ε là một giá trị rất nhỏ):
A(-1/6) = (6(-1/6)^2 + 2(-1/6) + 19)/(3(-1/6)^2 + (-1/6) + 7)
= (1/6 - 1/3 + 19)/(1/6 + 1/6 + 7)
= (1/6 - 2/6 + 19)/(2/6 + 7)
= (18/6)/(2/6 + 7)
= 3/(2/6 + 7)
= 3/(1/3 + 7)
= 3/(10/3)
= 9/10

A(-1/6 + ε) = (6(-1/6 + ε)^2 + 2(-1/6 + ε) + 19)/(3(-1/6 + ε)^2 + (-1/6 + ε) + 7)

Để tính giá trị của A(-1/6 + ε), ta có thể sử dụng máy tính hoặc tính toán thủ công. Tuy nhiên, vì đây là một quá trình phức tạp và dài dòng, nên ta sẽ không thể tính toán chi tiết ở đây.

Từ các tính toán trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9/10.