Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Vì AB = 6cm, AC = 5cm, nên ta có:

BC^2 = AB^2 + AC^2 (theo định lý Pythagoras)
BC^2 = 6^2 + 5^2
BC^2 = 36 + 25
BC^2 = 61
BC = √61 cm

AH = √(AB^2 - BH^2) (theo định lý Pythagoras)
AH = √(6^2 - 5^2)
AH = √(36 - 25)
AH = √11 cm

Góc B = arctan(AC/AB)
Góc B = arctan(5/6)

b) Ta cần chứng minh MN = AH.
Vì HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC, nên ta có tam giác vuông HMN.
Ta có: MN^2 = HM^2 + HN^2 (theo định lý Pythagoras)
MN^2 = (AH - AM)^2 + (AH - AN)^2
MN^2 = (AH^2 - 2AH*AM + AM^2) + (AH^2 - 2AH*AN + AN^2)
MN^2 = 2AH^2 - 2AH(AM + AN) + AM^2 + AN^2
MN^2 = 2AH^2 - 2AH(AM + AN) + AH^2
MN^2 = 3AH^2 - 2AH(AM + AN)

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AM/AB = AN/AC
AM = AB * (AM/AB) = AB * (AC/AB) = AC
AN = AB * (AN/AB) = AB * (AC/AB) = AC

Thay AM = AC và AN = AC vào công thức trên, ta có:
MN^2 = 3AH^2 - 2AH(AC + AC) + AH^2
MN^2 = 3AH^2 - 4AH*AC + AH^2
MN^2 = 4AH^2 - 4AH*AC
MN^2 = 4(AH^2 - AH*AC)
MN^2 = 4(AH(AH - AC))

Vì AH = √11 cm và AC = 5 cm, nên ta có:
MN^2 = 4(√11(√11 - 5))
MN^2 = 4(√11(6 - 5))
MN^2 = 4(√11)
MN = 2√11 cm

Vậy MN = AH.

c) Ta cần chứng minh MN là đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn có đường kính HB và HC.
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm của hai đường tròn.

Vì HB là đường kính của đường tròn có tâm là O1, nên góc HMB = 90 độ (góc nửa tròn).
Tương tự, góc HNC = 90 độ.

Vì MN = AH, và AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc AMN = góc BAC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ - góc B.

Vậy ta có:
góc AMN = 90 độ - góc B

Vì góc HMB = góc AMN, nên ta có:
góc HMB = 90 độ - góc B

Tương tự, ta có:
góc HNC = 90 độ - góc C

Vậy ta có:
góc HMB = góc HNC

Vậy MN là đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn có đường kính HB và HC.