Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

1) Để tính nguyên hàm của hàm số f(x) = cos^2x - 2x/(x^2 - 1), ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp tích phân từng phần.

Đầu tiên, ta tính nguyên hàm của cos^2x. Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
∫cos^2x dx = ∫(1 + cos(2x))/2 dx = (1/2)∫dx + (1/2)∫cos(2x)dx
= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C1, với C1 là hằng số.

Tiếp theo, ta tính nguyên hàm của -2x/(x^2 - 1). Để tính được nguyên hàm này, ta phân tích hàm số thành tổng hai phân thức đơn giản hơn:
-2x/(x^2 - 1) = -2x/[(x - 1)(x + 1)] = A/(x - 1) + B/(x + 1)

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, ta có:
-2x/(x^2 - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1)
=> -2x = A(x + 1) + B(x - 1)
=> -2x = (A + B)x + (A - B)

So sánh hệ số của các hạng tử tương ứng, ta có hệ phương trình:
A + B = 0
A - B = -2

Giải hệ phương trình này, ta được A = -1 và B = 1.

Vậy, -2x/(x^2 - 1) = -1/(x - 1) + 1/(x + 1)

Tính nguyên hàm của -1/(x - 1) + 1/(x + 1), ta có:
∫[-1/(x - 1) + 1/(x + 1)]dx = -∫(1/(x - 1))dx + ∫(1/(x + 1))dx
= -ln|x - 1| + ln|x + 1| + C2, với C2 là hằng số.

Tổng hợp kết quả, ta có:
∫[cos^2x - 2x/(x^2 - 1)]dx = (1/2)x + (1/4)sin(2x) - ln|x - 1| + ln|x + 1| + C, với C = C1 + C2 là hằng số.

2) Để tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + 2x^3/(√x) - cot(2x), ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp tích phân từng phần.

Đầu tiên, ta tính nguyên hàm của 1. Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
∫1 dx = x + C1, với C1 là hằng số.

Tiếp theo, ta tính nguyên hàm của 2x^3/(√x). Để tính được nguyên hàm này, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số.

Đặt u = √x, ta có du = (1/2√x)dx.
Khi đó, phần tử dx có thể thay thế bằng 2√x du.

Vậy, nguyên hàm của 2x^3/(√x) là:
∫2x^3/(√x)dx = ∫2u^4 du = (2/5)u^5 + C2 = (2/5)(√x)^5 + C2 = (2/5)x^(5/2) + C2, với C2 là hằng số.

Cuối cùng, ta tính nguyên hàm của cot(2x). Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
∫cot(2x)dx = (1/2)ln|sin(2x)| + C3, với C3 là hằng số.

Tổng hợp kết quả, ta có:
∫[1 + 2x^3/(√x) - cot(2x)]dx = x + (2/5)x^(5/2) + (1/2)ln|sin(2x)| + C, với C = C1 + C2 + C3 là hằng số.