Cho M = (1+ a/a^2+1):(1/1-a-2a/a^3-a^2+a-1). a) Rút gọn M và tìm M bt |2a-1|=1

a) Để rút gọn M, ta nhân tử và mẫu của M với a^2+1 để loại bỏ các phân số trong biểu thức:
M = (1+ a/a^2+1):(1/1-a-2a/a^3-a^2+a-1)
= (a^2+1)(1+ a/a^2+1):(a^2+1)(1/1-a-2a/a^3-a^2+a-1)
= (a^2+1+a):(a^2+1)(1-a-2a/a^3-a^2+a-1)
= (a^2+1+a):(a^2+1)(-a^3+a^2-a+1-2a)
= (a^2+1+a):(a^2+1)(-a^3+a^2-3a+1)

Tiếp theo, ta thay a = (1+|2a-1|)/2 vào biểu thức trên:
M = ((1+|2a-1|)/2)^2+1+(1+|2a-1|)/2 : ((1+|2a-1|)/2)^2+1)(-(1+|2a-1|)/2)^3+(1+|2a-1|)/2)^2-3(1+|2a-1|)/2+1

b) Để M thuộc Z, ta cần tìm các giá trị của a sao cho tử và mẫu của M đều là số nguyên.

Đầu tiên, ta xét tử số:
((1+|2a-1|)/2)^2+1+(1+|2a-1|)/2

Để biểu thức này là số nguyên, ta cần xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: 2a-1 > 0
Khi đó, |2a-1| = 2a-1 và biểu thức trên trở thành:
((1+2a-1)/2)^2+1+(1+2a-1)/2
= (2a/2)^2+1+2a/2
= a^2+1+a
Để a^2+1+a là số nguyên, ta cần a là số nguyên.

- Trường hợp 2: 2a-1 < 0
Khi đó, |2a-1| = -(2a-1) = 1-2a và biểu thức trên trở thành:
((1+1-2a)/2)^2+1+(1+1-2a)/2
= (2-2a)/2)^2+1+(2-2a)/2
= (1-a)^2+1+(1-a)
= (1-a)^2+2(1-a)+1
= (1-a+1)^2
= (2-a)^2
Để (2-a)^2 là số nguyên, ta cần a là số nguyên.

Vậy, để M thuộc Z, a phải là số nguyên.