a) Ta có DE là đường chéo của hình vuông ABCD, nên DE cắt AB tại trung điểm của AB (ký hiệu là F). Vì AC là đường chéo của hình vuông ABCD, nên AC cắt BD tại trung điểm của BD (ký hiệu là G). Khi đó, ta có:

- Đường thẳng AB song song với đường thẳng CD (vì là cạnh của hình vuông).
- Đường thẳng DE song song với đường thẳng BC (vì là đường chéo của hình vuông).
- Đường thẳng AC song song với đường thẳng BD (vì là đường chéo của hình vuông).

Do đó, ta có tứ giác ABDE là hình bình hành. Khi đó, ta có:

- AB = DE (vì là cạnh của hình bình hành).
- BD = AE (vì là đường chéo của hình bình hành).

Vậy tam giác BDE là tam giác vuông cân tại B.

b) Ta có:

- DH vuông góc với AE (vì DH là đường cao của tam giác vuông ADE).
- M là trung điểm của HE (vì M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm H và E).
- N là trung điểm của HD (vì N là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm H và D).

Do đó, ta có:

- HM = ME (vì M là trung điểm của HE).
- HN = ND (vì N là trung điểm của HD).

Vậy ta có tứ giác ABMN là hình bình hành.

c) Ta có:

- N là trung điểm của HD (vì N là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm H và D).
- M là trung điểm của HE (vì M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm H và E).

Do đó, ta có:

- NM là đường trung bình của tam giác AMD (vì N là trung điểm của HD và M là trung điểm của HE).
- NM song song với AD (vì NM là đường trung bình của tam giác AMD và AD là đường chéo của hình vuông ABCD).

Vậy N là trực tâm của tam giác AMD.

d) Ta có:

- NM song song với AD (vì N là trực tâm của tam giác AMD và NM là đường trung bình của tam giác AMD).
- AB song song với CD (vì AB là cạnh của hình bình hành ABDE và CD là cạnh của hình vuông ABCD).
- AB vuông góc với BD (vì tam giác BDE là tam giác vuông cân tại B).

Do đó, ta có NM vuông góc với BD. Vì NM song song với AD, nên NM cũng vuông góc với AD.

Vậy góc BMD = 90°.