a) Ta có ON là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O, nên góc MNO = 90 độ. Mà góc MNE = 90 độ (do MN là đường kính), nên góc MEN = 180 - 90 - 90 = 0 độ. Vậy ta có tam giác MEN vuông ở E.

Gọi x là góc MED, ta có góc MDE = 180 - x (do MED là góc ngoài của tam giác MDE).

Trong tam giác MDE, ta có góc MDE + góc MED + góc DME = 180 độ (tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ).

Thay giá trị vào, ta có (180 - x) + x + 90 = 180 độ.

Simplifying the equation, ta có 90 = 90 độ.

Vậy ta có DE.DM = DN^2.

b) Ta biết OI vuông góc với ME tại I. Vì OI là đường phân giác của góc MON, nên OI cắt MN tại điểm trung điểm của MN (gọi là P).

Vì OI là đường phân giác của góc MON, nên OI cắt ON tại điểm trung điểm của ON (gọi là Q).

Vậy ta có OP = OQ.

Do đó, tam giác OPI và OQI là tam giác đều (cạnh bằng nhau và góc bằng nhau).

Vậy góc OPI = góc OQI.

Nhưng góc OPI = góc DPI (do OP là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O), và góc OQI = góc NDI (do OQ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O).

Vậy góc DPI = góc NDI.

Do đó, 4 điểm O, I, D, N cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi A là điểm thứ 2 nằm trên đường tròn đường kính OD.

Ta cần chứng minh DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O và góc DEA = góc DAM.

Vì OD là đường kính của đường tròn, nên góc ODA = 90 độ.

Vì OI vuông góc với ME tại I, nên góc ODI = 90 độ.

Do đó, góc ODA = góc ODI.

Vậy, 4 điểm O, D, A, I cùng thuộc một đường tròn.

Gọi góc DEA = x và góc DAM = y.

Ta cần chứng minh x = y.

Vì góc ODA = góc ODI, nên góc ODA = góc ODI = 90 độ.

Vậy, góc ODA + góc DEA + góc DAM = 180 độ (tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ).

Thay giá trị vào, ta có 90 + x + y = 180 độ.

Simplifying the equation, ta có x + y = 90 độ.

Vậy x = y.

Vậy DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O và góc DEA = góc DAM.