Cho đường tròn tâm o có đường kính ab=2r. vẽ các tiếp tuyến (d1), (d2) của (o) tại a và b. lấy tuỳ ý điểm m trên (o). tiếp tuyến của đường tròn (o) tại m cắt (d1), (d2) lần lượt tại c và d. a) chứng minh cd=ac+bd và góc cod =90 độ,

a) Ta có:
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d1) và đường kính AB là góc vuông (do đường kính AB là đường chéo của hình tròn).
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d2) và đường kính AB cũng là góc vuông (do đường kính AB là đường chéo của hình tròn).
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d1) và tiếp tuyến (d2) là góc vuông (do (d1) và (d2) là hai tiếp tuyến của hình tròn cùng đi qua điểm A và B).

Do đó, ta có tứ giác ACBD là tứ giác vuông tại C và D. Vì vậy, ta có CD = AC + BD và góc COD = 90 độ.

b) Ta có:
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d1) và tiếp tuyến (d2) là góc vuông (như đã chứng minh ở câu a).
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d1) và tiếp tuyến (d2) với tiếp tuyến AM là góc vuông (do (d1) và (d2) là hai tiếp tuyến của hình tròn cùng đi qua điểm A và B).
- Góc tạo bởi tiếp tuyến (d1) và tiếp tuyến (d2) với tiếp tuyến BM cũng là góc vuông (do (d1) và (d2) là hai tiếp tuyến của hình tròn cùng đi qua điểm A và B).

Vậy tứ giác MFOE là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông).

c) Ta có:
- Tứ giác ACBD là tứ giác vuông tại C và D (như đã chứng minh ở câu a).
- Tứ giác MFOE là hình chữ nhật (như đã chứng minh ở câu b).

Vì góc COD = 90 độ và góc MFO = 90 độ (vì tứ giác MFOE là hình chữ nhật), nên ta có tứ giác CODF là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.

Áp dụng định lý tiếp tuyến-tứ giác nội tiếp, ta có:
OE * OC = OF * OD = AC * BD = r^2 (vì tứ giác ACBD là tứ giác vuông tại C và D).

Vậy, ta đã chứng minh được OE * OC = OF * OD = AC * BD = r^2.