Cho tam giác abc có ab

Để chứng minh AP = AQ = (ABxAC)/BC, ta sẽ sử dụng định lí Thales và định lí tỉ lệ đồng dạng.

Gọi I là giao điểm của MP và AQ.

Theo định lí Thales, ta có:
BM/BA = BN/BC (1)
Vì BM = BA, nên ta có: 1 = BN/BC
⇒ BN = BC (2)

Tương tự, ta có:
CN/CA = CM/CB (3)
Vì CN = CA, nên ta có: 1 = CM/CB
⇒ CM = CB (4)

Do đó, ta có: BN = BC và CM = CB.

Áp dụng định lí tỉ lệ đồng dạng, ta có:
AP/AQ = MP/IQ (5)

Từ (1), ta có: BM/BA = BN/BC
⇒ BM/BA = BC/BC (do BN = BC)
⇒ BM/BA = 1
⇒ BM = BA

Từ (2), ta có: BN = BC
⇒ BN/BC = 1
⇒ BN/BC = BA/BA (do BM = BA)
⇒ BN/BC = BA/BA
⇒ BN/BC = 1

Từ (3), ta có: CN/CA = CM/CB
⇒ CN/CA = CB/CB (do CM = CB)
⇒ CN/CA = 1
⇒ CN = CA

Từ (4), ta có: CM = CB
⇒ CM/CB = 1
⇒ CM/CB = CA/CA (do CN = CA)
⇒ CM/CB = 1

Do đó, ta có: BN/BC = 1 và CM/CB = 1.

Áp dụng định lí tỉ lệ đồng dạng vào (5), ta có:
AP/AQ = MP/IQ = BM/BN = CM/CN = CB/CA

Vì BM = BA, CN = CA, CM = CB, nên ta có:
AP/AQ = BA/BC = (ABxAC)/BC

Vậy, ta có AP = AQ = (ABxAC)/BC.