Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ o đến đồ thị hàm số y = (m-1)x +2 = 2/căn5

1. Để tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số y = (m-1)x + 2 là 2/√5, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm (x0, y0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 được tính bằng công thức:
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)

Trong trường hợp này, đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 2, tương đương với phương trình x - y + (1-m) = 0. Vì gốc tọa độ O có tọa độ (0, 0), ta có:
d = |0 - 0 + (1-m)| / √(1^2 + (-1)^2) = |1-m| / √2

Vì khoảng cách từ O đến đồ thị là 2/√5, ta có:
|1-m| / √2 = 2/√5

Giải phương trình trên, ta có hai trường hợp:
1-m = 2√2/√5 => m = 1 - 2√2/√5
1-m = -2√2/√5 => m = 1 + 2√2/√5

Vậy, giá trị của m để khoảng cách từ O đến đồ thị là 2/√5 là m = 1 - 2√2/√5 hoặc m = 1 + 2√2/√5.

2. Để tìm các giá trị của m để diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Diện tích tam giác OBC được tính bằng công thức:
S_OBC = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

Diện tích tam giác OAC được tính bằng công thức:
S_OAC = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

Vì diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC, ta có:
S_OBC = 2 * S_OAC
=> 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| = 2 * (1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|)
=> |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| = 2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

Điều này chỉ xảy ra khi x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2) = 0.

Trong trường hợp này, ta có điểm A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tọa độ Ox, nên A có tọa độ (x, 0). Điểm B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tọa độ Oy, nên B có tọa độ (0, y).

Thay vào công thức trên, ta có:
x(0 - (-2m+4)) + 0((-2m+4) - 0) + 0(0 - (-2m+4)) = 0
=> 2mx + 4 = 0
=> x = -2/m

Thay x vào phương trình đường thẳng (d), ta có:
y = -2(-2/m) + 4
=> y = 4 + 4/m

Vậy, tọa độ của điểm B là (-2/m, 4 + 4/m).

Thay tọa độ của điểm B vào phương trình đường thẳng (d), ta có:
4 + 4/m = -2(-2/m) + 4
=> 4 + 4/m = 4 + 4/m
Phương trình này đúng với mọi giá trị của m, vì vậy điểm B thỏa mãn điều kiện.

Vậy, các giá trị của m để diện tích tam giác OBC bằng hai lần diện tích tam giác OAC là mọi giá trị của m.