Để chứng minh tứ giác AECB là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo của nó cắt nhau vuông góc.

Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Ta có:
- Đường trung tuyến AD chia tam giác ABC thành hai tam giác cân ADB và ADC.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên góc BAC = góc BCA.
- Góc BAD = góc CAD (do tam giác ADB và ADC cân).
- Vậy tam giác ADB và ADC là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
- Do đó, tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau: AB/AD = AD/AC.
- Từ đó suy ra, AB.AC = AD^2.

Gọi N là trung điểm của cạnh AD. Ta có:
- Đường trung tuyến AM chia tam giác ABC thành hai tam giác cân ABM và ACM.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên góc BAC = góc BCA.
- Góc BAM = góc CAM (do tam giác ABM và ACM cân).
- Vậy tam giác ABM và ACM là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
- Do đó, tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau: AB/AM = AM/AC.
- Từ đó suy ra, AB.AC = AM^2.

Từ hai biểu thức AB.AC = AD^2 và AB.AC = AM^2, ta có:
AD^2 = AM^2.
=> AD = AM.

Vậy, tứ giác AECB là hình thoi vì có hai cặp cạnh đối nhau bằng nhau (AE = AC và CE = CB) và hai đường chéo cắt nhau vuông góc (AD = AM).