Cho (O,R) ; đường kính AB cố định và có dây cung CD vuông góc với OB tại trung điểm H của OB. Tính diện tích tứ giác ACBD theo R

Để tính diện tích tứ giác ACBD, ta cần biết độ dài các cạnh của tứ giác này. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông để tính toán.

Gọi O là tâm của đường tròn (O, R), AB là đường kính cố định của đường tròn. Ta có:

- Đường tròn (O, R) có tâm O và bán kính R.
- Dây cung CD vuông góc với OB tại trung điểm H của OB.
- Tam giác OHC là tam giác vuông tại H.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OHC, ta có:

OH² = OC² - HC²

Vì OC = R (bán kính đường tròn) và HC = OB/2 (vì H là trung điểm của OB), ta có:

OH² = R² - (OB/2)²

OH² = R² - OB²/4

OH² = (4R² - OB²)/4

OH = √((4R² - OB²)/4)

OH = √(4R² - OB²)/2

Vì H là trung điểm của OB, ta có OH = HB = OB/2.

Vậy OB = 2OH = √(4R² - OB²)/2

OB² = 4R² - OB²

2OB² = 4R²

OB² = 2R²

OB = √2R

Do đó, cạnh OB của tứ giác ACBD có độ dài là √2R.

Tính diện tích tứ giác ACBD:

Diện tích tứ giác ACBD = Diện tích tam giác AOB + Diện tích tam giác COD

Diện tích tam giác AOB = 1/2 * AB * OH = 1/2 * AB * (OB/2) = 1/4 * AB * OB

Diện tích tam giác COD = 1/2 * CD * OH = 1/2 * CD * (OB/2) = 1/4 * CD * OB

Vì CD là dây cung của đường tròn (O, R), nên CD = 2R * sin(θ/2), trong đó θ là góc COD.

Vậy diện tích tam giác COD = 1/4 * 2R * sin(θ/2) * √2R = √2R² * sin(θ/2)

Diện tích tứ giác ACBD = 1/4 * AB * OB + √2R² * sin(θ/2)

= 1/4 * AB * √2R + √2R² * sin(θ/2)

= √2R/4 * (AB + 2R * sin(θ/2))

Vậy diện tích tứ giác ACBD là √2R/4 * (AB + 2R * sin(θ/2)).