Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua A và // BC cắt DB tại E. Đường thẳng qua B // với AD cắt AC ở F. Chứng minh tam giác EOB = tam giác AOC

a) Ta có:
- Đường thẳng qua a và // với bc cắt bd tại e, suy ra ae // bc.
- Đường thẳng qua b và // với ad cắt ac tại f, suy ra bf // ad.
- Vì ae // bc và bf // ad, nên theo định lí Thales ta có:
ae/ab = ac/ae và bf/bc = ad/bf.
- Từ đó suy ra: ae^2 = ab*ac và bf^2 = bc*ad.
- Ta có: ae^2 + bf^2 = ab*ac + bc*ad.
- Vì abcd là hình chữ nhật, nên ab = cd và ac = bd.
- Thay ab = cd và ac = bd vào ta được: ae^2 + bf^2 = cd*bd + bc*bd = bd*(cd + bc).
- Vì cd + bc = bd, nên ae^2 + bf^2 = bd^2.
- Suy ra: ae^2 + bf^2 = bd^2.

b) Ta có:
- Đường thẳng qua a và // với bc cắt bd tại e, suy ra ae // bc.
- Đường thẳng qua b và // với ad cắt ac tại f, suy ra bf // ad.
- Vì ae // bc và bf // ad, nên theo định lí Thales ta có:
ae/ab = ac/ae và bf/bc = ad/bf.
- Từ đó suy ra: ae*ae = ab*ac và bf*bc = ad*bf.
- Ta có: ae*ae * bf*bc = ab*ac * ad*bf.
- Suy ra: ae*bf*bc = ab*ac*ad.
- Vì abcd là hình chữ nhật, nên ab = cd và ac = bd.
- Thay ab = cd và ac = bd vào ta được: ae*bf*bc = cd*bd*ad.
- Suy ra: ae*bc = ad*cd.
- Vì ae // bc, nên theo định lí Thales ta có: ae/ab = ac/ae.
- Từ đó suy ra: ae*ae = ab*ac.
- Thay ab = cd và ac = bd vào ta được: ae*ae = cd*bd.
- Suy ra: ae*bc = ad*cd = ae*ae.
- Vì ae ≠ 0, nên bc = ad.

c) Ta có:
- Đường thẳng qua a và // với bc cắt bd tại e, suy ra ae // bc.
- Đường thẳng qua b và // với ad cắt ac tại f, suy ra bf // ad.
- Vì ae // bc và bf // ad, nên theo định lí Thales ta có:
ae/ab = ac/ae và bf/bc = ad/bf.
- Từ đó suy ra: ae*ae = ab*ac và bf*bc = ad*bf.
- Ta có: ae*ae * bf*bc = ab*ac * ad*bf.
- Suy ra: ae*bf*bc = ab*ac*ad.
- Vì abcd là hình chữ nhật, nên ab = cd và ac = bd.
- Thay ab = cd và ac = bd vào ta được: ae*bf*bc = cd*bd*ad.
- Suy ra: ae*bc = ad*cd.
- Vì ae // bc, nên theo định lí Thales ta có: ae/ab = ac/ae.
- Từ đó suy ra: ae*ae = ab*ac.
- Thay ab = cd và ac = bd vào ta được: ae*ae = cd*bd.
- Suy ra: ae*bc = ad*cd = ae*ae.
- Vì ae ≠ 0, nên bc = cd.
- Vì bc = cd, nên ef // dc.