Để chứng minh rằng x^4 + y^2023 là một số nguyên tố, ta cần chứng minh rằng nó không thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương nhỏ hơn nó.

Giả sử x^4 + y^2023 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương a và b, với a và b đều nhỏ hơn x^4 + y^2023.

Ta có: x^4 + y^2023 = a * b

Do đó, ta có: x^4 = a * b - y^2023

Vì (x + 2) x (y - 1) = (x + 2y)², nên ta có: (x + 2) x (y - 1) = x^2 + 4xy + 4y^2

Từ đó, ta có: x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2) x (y - 1)

Khi đó, ta có: x^4 = (x + 2) x (y - 1) - y^2023

Thay giá trị của (x + 2) x (y - 1) bằng x^2 + 4xy + 4y^2, ta có: x^4 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - y^2023

Simplifying the equation, we get: x^4 = x^2 + 4xy + 4y^2 - y^2023

Rearranging the terms, we have: x^4 - x^2 - 4xy - 4y^2 + y^2023 = 0

Now, let's consider this equation as a quadratic equation in terms of x. We can solve for x using the quadratic formula:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

In this case, a = 1, b = -4y, and c = y^2023 - y^2023 = 0. Plugging in these values, we get:

x = (-(-4y) ± √((-4y)^2 - 4(1)(0))) / (2(1))
= (4y ± √(16y^2)) / 2
= (4y ± 4y) / 2
= 2y

Therefore, x = 2y.

Substituting this value back into the equation x^4 + y^2023 = a * b, we have:

(2y)^4 + y^2023 = a * b
16y^4 + y^2023 = a * b

Since y^2023 is a power of y, it cannot be factored into smaller factors. Therefore, the only way for x^4 + y^2023 to be factored is if a = 1 and b = 16y^4 + y^2023.

In this case, x^4 + y^2023 = a * b = 1 * (16y^4 + y^2023) = 16y^4 + y^2023.

Since 16y^4 + y^2023 is not a product of two smaller positive integers, we can conclude that x^4 + y^2023 is a prime number.