a) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Ta có tam giác ABC vuông tại C, nên CH là đường cao của tam giác ABC.
- Do đó, ta có AH = BH (vì tam giác ABC cân tại C).
- Vì AC > BC, nên AH > BH.
- Vì tam giác ABC vuông tại C, nên AH > CH.
- Vậy, ta có AHC > CHB.
- Do đó, ta có ∠AHC > ∠CHB.
- Mà ∠AHC và ∠CHB là hai góc nằm trên cùng một tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên chúng cùng nằm trên cùng một cung nhỏ của đường tròn (O;R).
- Vậy, ta có A, H, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

b) Ta có:
- Gọi F' là giao điểm của MC và AB.
- Ta cần chứng minh BC = 2.IO và DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠MCF' = ∠MCA + ∠ACF' = ∠MCA + ∠ACB = ∠MCA + (90° - ∠CAB) = ∠MCA + (90° - ∠CBA) = ∠MCA + ∠ACH = ∠MCH.
- Vậy, ta có ∠MCF' = ∠MCH.
- Mà M, C, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính OM, nên ∠MCH = ∠MOH.
- Vậy, ta có ∠MCF' = ∠MOH.
- Do đó, ta có ∠MCF' = ∠MOH.
- Vậy, ta có ∠MCF' = ∠MOH.
- Mà ∠MCF' và ∠MOH là hai góc nằm trên cùng một tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên chúng cùng nằm trên cùng một cung nhỏ của đường tròn (O;R).
- Vậy, ta có F' là điểm cắt của tiếp tuyến tại điểm C và đường tròn (O;R).
- Do đó, ta có DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BCA = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BCA = 90°.
- Mà ∠BCA là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn (O;R), nên BC là đường kính của đường tròn (O;R).
- Vậy, ta có BC = 2R.
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có BC = 2R và DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh BC = 2.IO và DF' là tiếp tuyến của (O;R).

c) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Ta cần chứng minh AF.BE = BF.AH.
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC = ∠BCH + ∠HCA = ∠BCH + ∠HCB = ∠BCH + ∠HCB = 90°.
- Vậy, ta có ∠BAC = 90°.
- Mà ∠BAC là góc nằm trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O;R), nên AF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Vậy, ta đã chứng minh DF' là tiếp tuyến của (O;R).
- Ta có ∠BAC =