Tìm các cặp số nguyên thoả mãn x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) = y^2

Để tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình x(x+2)(x+4)(x+6)=y^2, ta có thể sử dụng phương pháp giả sử.

Giả sử x là một số nguyên thoả mãn phương trình trên. Khi đó, x, x+2, x+4, x+6 là bốn số liên tiếp. Ta có thể gọi x+2 = x+1, x+4 = x+2 và x+6 = x+3 để thuận tiện.

Phương trình ban đầu trở thành x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2.

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần x(x+1)(x+2)(x+3) là một số chính phương. Điều này chỉ xảy ra khi một trong các yếu tố x, x+1, x+2, x+3 là một số chính phương.

Ta có thể kiểm tra từng trường hợp:

1. Nếu x là số chính phương, tức là x = a^2 với a là một số nguyên dương, thì phương trình trở thành a^2(a^2+1)(a^2+2)(a^2+3) = y^2. Đây là một phương trình bậc 4, khá phức tạp và không có nghiệm nguyên.

2. Nếu x+1 là số chính phương, tức là x+1 = a^2 với a là một số nguyên dương, thì phương trình trở thành (a^2-1)a^2(a^2+1)(a^2+2) = y^2. Đây cũng là một phương trình bậc 4, không có nghiệm nguyên.

3. Nếu x+2 là số chính phương, tức là x+2 = a^2 với a là một số nguyên dương, thì phương trình trở thành (a^2-2)(a^2-1)a^2(a^2+1) = y^2. Đây cũng là một phương trình bậc 4, không có nghiệm nguyên.

4. Nếu x+3 là số chính phương, tức là x+3 = a^2 với a là một số nguyên dương, thì phương trình trở thành (a^2-3)(a^2-2)(a^2-1)a^2 = y^2. Đây cũng là một phương trình bậc 4, không có nghiệm nguyên.

Từ các trường hợp trên, ta kết luận rằng không có cặp số nguyên thoả mãn phương trình x(x+2)(x+4)(x+6) = y^2.