Cho tam giác ABC (AB< AC) M là trung điểm của AB, K là trung điểm AC

Để chứng minh điều kiện a) ta sẽ sử dụng định lí đồng dạng tam giác.

Vì MK = 1/2 BC, ta có thể coi MK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có thể sử dụng định lí đồng dạng tam giác để chứng minh điều kiện a).

Định lí đồng dạng tam giác: Nếu có hai đường trung bình của một tam giác cắt nhau tại một điểm, thì tam giác tạo bởi các đoạn thẳng này và đoạn thẳng nối hai điểm cắt là đồng dạng với tam giác ban đầu.

Áp dụng định lí đồng dạng tam giác, ta có:
Tam giác AMK đồng dạng với tam giác ABC (do MK là đường trung bình của tam giác ABC).

Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AM/AB = MK/BC

Vì AM = MK (do M là trung điểm của AB), ta có:
MK/AB = MK/BC

Từ đó, ta có:
AB/BC = 1/2

Vì AB < AC, nên ta có:
AB/AC < 1/2

Vậy, điều kiện a) đã được chứng minh.

Để chứng minh điều kiện b), ta cần chứng minh rằng tứ giác MKHB là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC, nên ta có:
AM = MB và AK = KC

Vì tứ giác MKHB có hai cạnh đối xứng qua đường chéo MK, nên ta có:
MK = MH và MK = KB

Từ đó, ta có:
MH = KB

Vậy, tứ giác MKHB là hình bình hành.

Vậy, cả hai điều kiện a) và b) đã được chứng minh.